这个问题我从三方面作答。
1，唐朝文学空前繁荣，散文、小说、戏剧、诗歌并行，尤其是“诗歌”最为光彩夺目，唐朝被誉为诗歌的“黄金时代”。唐代诗歌有多种体裁、题材，如古体诗、律诗、边塞诗、田园诗、宫廷诗，浪漫主义、现实主义，豪放派、婉约派，百花齐放。 清代康熙年间编撰的《全唐诗》总共有四万八千九百余首，可见唐诗数量之多。
目下，弘扬国学之风正盛，而唐诗，尤其是格律诗，讲究平仄和韵律，集音乐美、形式美、精炼美于一身，读起来朗朗上口。 而清代乾隆年间编选的《唐诗三百首》读书人几乎尽人皆知，流传极广。
清朝乾隆进士、蘅塘退士孙洙的一句名言：“熟读唐诗三百首，不会吟诗也会吟”，流传二百余年，更是许多人耳熟能详。 鲁讯曾说：“我以为一切好诗，到唐朝已被做完，此后倘非翻出如来掌心之‘齐天大圣’大可不必再动手了”。
所以，人们写古诗，选择先背诵唐诗很有必要，另外背唐诗以作为古文之进阶首选也有一定的道理。
2，唐诗代表了中华诗歌的最高成就，无疑是中华以及世界文坛上浓墨重彩的一笔。今天的人们，把唐诗作为了相对于现代自由体诗歌的古诗的代名词。
但是，人们记忆、背诵并不仅局限于唐诗。
古典诗词比如《诗经》中的“关关雎鸠，在河之洲，窈窕淑女，君子好逑”，“蒹葭苍苍，白露为霜，所谓伊人，在水一方”；比如宋词里的“大江东去，浪涛尽千古风流人物……”，“怒发冲冠，凭栏处，潇潇雨歇……”；比如元曲里的“枯藤老树昏鸦，小桥流水人家……”，“却原来姹紫嫣红开遍，似这般都付与断井颓垣……”；比如毛主席诗词“……数风流人物，还看今朝”等等诗词名句，许多人都能脱口而出。
3，现代自由体诗歌，不像古诗词有严格的格律，也不像元曲散而有致，便于吟诵。 有些现代诗，其实就是散文的分行排列，语言也不够凝炼，很难成诵。 网络上的一些诗作，有许多根本不能算是诗歌，不说也罢。
所以，人们不会选择背诵。
当然，现代自由体诗歌也有写得极好的。比如徐志摩“……悄悄的我走了，正如我悄悄的来，我挥一挥衣袖，不带走一片云彩……”，“最是那一低头的温柔，像一朵水莲花不胜凉风的娇羞，道一声珍重，道一声珍重，那一声珍重里有蜜甜的忧愁， ——沙扬娜拉”；比如李叔同的歌词“长亭外，古道边，芳草碧连天。晚风拂柳笛声残，夕阳山外山……”等等同样被人们广为传诵、传唱。
